记椭圆 $\frac{x^2}{4} + \frac{ny^2}{4n + 1} = 1$ 围成的区域（含边界）为 $\Omega_n$ （$n = 1$，$2$，$\cdots$），当点 $\left(x, y\right)$ 分别在 $\Omega_1$，$\Omega_2$，$\cdots$ 上时，$x + y$ 的最大值分别是 $M_1$，$M_2$，$\cdots$，则 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} M_n =$（$\quad$）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 区域 $\Omega_n$ 满足 令 $u=\frac{x}{2}$，$v=\sqrt{\frac{n}{4n+1}}y$，则 $u^2+v^2\leqslant1$，且 由柯西不等式， 取 $(u,v)$ 与 $\left(2,\sqrt{\frac{4n+1}{n}}\right)$ 同方向且在单位圆上时可取到等号，因此 所以 因此选 D. \end{solution}