已知 $O$ 为坐标原点，$F$ 为椭圆 $C:x^2+\frac{y^2}{2}=1$ 在 $y$ 轴正半轴上的焦点，过 $F$ 且斜率为 $-\sqrt{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$，$B$ 两点，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OP}=0$.

(1) 证明：点 $P$ 在 $C$ 上； (2) 设点 $P$ 关于点 $O$ 的对称点为 $Q$，证明：$A$，$P$，$B$，$Q$ 四点在同一圆上.