设椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$），其相应于焦点 $F(2,0)$ 的准线方程为 $x = 4$.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程； (2) 已知过点 $F_{1}(-2,0)$ 倾斜角为 $\theta$ 的直线交椭圆 $C$ 于 $A$，$B$ 两点，求证：$|AB| = \frac{4\sqrt{2}}{2 - \cos^2\theta}$； (3) 过点 $F_{1}(-2,0)$ 作两条互相垂直的直线分别交椭圆 $C$ 于 $A$，$B$ 和 $D$，$E$，求 $|AB| + |DE|$ 的最小值.