设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_1 = a$，$a_{n+1} = c a_n + 1 - c$，$n \in \mathbf{N}^*$，其中 $a$，$c$ 为实数，且 $c \neq 0$.

(1) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式； (2) 设 $a = \frac{1}{2}$，$c = \frac{1}{2}$，$b_n = n(1 - a_n)$，$n \in \mathbf{N}^*$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$； (3) 若 $0 < a_{n} < 1$ 对任意 $n \in \mathbf{N}^{*}$ 成立，证明 $0 < c \leqslant 1$.