如图，点 $F_{1}(-c,0)$，$F_{2}(c,0)$ 分别是椭圆 $C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点，过点 $F_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆 $C$ 的上半部分于点 $P$，过点 $F_{2}$ 作直线 $PF_{2}$ 的垂线交直线 $x=\frac{a^{2}}{c}$ 于点 $Q$.

(1) 如果点 $Q$ 的坐标是 $(4,4)$，求此时椭圆 $C$ 的方程. (2) 证明：直线 $PQ$ 与椭圆 $C$ 只有一个交点.