在等腰梯形 $ABCD$ 中，已知 $AB \parallel DC$，$AB = 2$，$BC = 1$，$\angle ABC = 60^\circ$. 动点 $E$ 和 $F$ 分别在线段 $BC$ 和 $DC$ 上，且 $\overrightarrow{BE} = \lambda \overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DF} = \frac{1}{9\lambda}\overrightarrow{DC}$，则 $\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF}$ 的最小值为______.