如图，$F_{1}$，$F_{2}$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （$a$，$b > 0$）的左，右焦点，$B$ 是虚轴的端点，直线 $F_{1}B$ 与 $C$ 的两条渐近线分别交于 $P$，$Q$ 两点，线段 $PQ$ 的垂直平分线与 $x$ 轴交于点 $M$. 若 $|MF_{2}| = |F_{1}F_{2}|$，则 $C$ 的离心率是（ ）

定义：曲线 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离的最小值为曲线 $C$ 到直线 $l$ 的距离. 已知曲线 $C_{1}: y = x^{2} + a$ 到直线 $l: y = x$ 的距离等于曲线 $C_{2}: x^{2} + (y + 4)^{2} = 2$ 到直线 $l: y = x$ 的距离，则实数 $a =$______.

如图，椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ （$a > b > 0$）的离心率为 $\frac{1}{2}$. 其左焦点到点 $P(2,1)$ 的距离为 $\sqrt{10}$. 不经过原点 $O$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A$，$B$ 两点，且线段 $AB$ 被直线 $OP$ 平分.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程； (2) 求 $\triangle ABP$ 面积取最大值时直线 $l$ 的方程.