如图，椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ （$a > b > 0$）的离心率为 $\frac{1}{2}$. 其左焦点到点 $P(2,1)$ 的距离为 $\sqrt{10}$. 不经过原点 $O$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A$，$B$ 两点，且线段 $AB$ 被直线 $OP$ 平分.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程； (2) 求 $\triangle ABP$ 面积取最大值时直线 $l$ 的方程.