如图，在四棱锥 $P - ABCD$ 中，$PA \perp$ 底面 $ABCD$，$AB \perp AD$，$AC \perp CD$，$\angle ABC = 60^{\circ}$，$PA = AB = BC$，$E$ 是 $PC$ 的中点.

(1) 求 $PB$ 和平面 $PAD$ 所成的角的大小. (2) 证明 $AE \perp$ 平面 $PCD$. (3) 求二面角 $A - PD - C$ 的大小.