如图，四棱锥
P−ABCD 中，
PA⊥ 底面
ABCD，
BC=CD=2，
AC=4，
∠ACB=∠ACD=3π，
F 为
PC 的中点，
AF⊥PB.
(1) 求
PA 的长；
(2) 求二面角
B−AF−D 的正弦值.
\begin{solution}
建立空间直角坐标系，使底面
ABCD 在
xOy 平面内，取
A(0,0,0)，
C(4,0,0)，
B(3,3,0)，
D(3,−3,0).
这些坐标满足
BC=CD=2、
AC=4，且
∠ACB=∠ACD=3π. 由
PA⊥ 底面，设
P(0,0,h)，其中
h=PA>0. 因为
F 是
PC 的中点，所以
F(2,0,2h)，
AF=(2,0,2h)，
PB=(3,3,−h).
\begin{enumerate}
\item 由
AF⊥PB，得
AF⋅PB=2×3+2h(−h)=0
即
6−2h2=0. 因
h>0，所以
PA=h=23.
\item 此时
F=(2,0,3)，从而
AF=(2,0,3)，
AB=(3,3,0)，
AD=(3,−3,0).
取平面
BAF 和
DAF 的法向量
nB=AF×AB=(−3,33,23)
nD=AF×AD=(3,33,−23)
于是
nB⋅nD=6，
∣nB∣=∣nD∣=48=43.
设二面角
B−AF−D 的平面角为
φ，则
∣cosφ∣=∣nB∣∣nD∣∣nB⋅nD∣=486=81
所以
sinφ=1−641=837
\end{enumerate}
\end{solution}
