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20三角函数★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 的对边分别是 aa，bb，cc，且 a2+b2+2ab=c2a^2 + b^2 + \sqrt{2}ab = c^2.
(1) 求 CC； (2) 设 cos⁡Acos⁡B=325\cos A\cos B = \frac{3\sqrt{2}}{5}，cos⁡(α+A)cos⁡(α+B)cos⁡2α=25\frac{\cos(\alpha + A)\cos(\alpha + B)}{\cos^2\alpha} = \frac{\sqrt{2}}{5}，求 tan⁡α\tan \alpha 的值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由余弦定理，
cos⁡C=a2+b2−c22ab=−22\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=-\frac{\sqrt{2}}{2}
因为 CC 是三角形的内角，所以 C=3π4C=\frac{3\pi}{4}，从而
A+B=π−C=π4A+B=\pi-C=\frac{\pi}{4}
\item 记 t=tan⁡αt=\tan\alpha. 题目中的分式有意义，所以 cos⁡α≠0\cos\alpha\ne0. 由 A+B=π4A+B=\frac{\pi}{4}，
sin⁡Asin⁡B=cos⁡Acos⁡B−cos⁡(A+B)=325−22=210\sin A\sin B=\cos A\cos B-\cos(A+B)=\frac{3\sqrt{2}}{5}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{10}
将两角和公式展开并除以 cos⁡2α\cos^2\alpha，得
cos⁡(α+A)cos⁡(α+B)cos⁡2α=cos⁡Acos⁡B−tsin⁡(A+B)+t2sin⁡Asin⁡B\frac{\cos(\alpha+A)\cos(\alpha+B)}{\cos^2\alpha} =\cos A\cos B-t\sin(A+B)+t^2\sin A\sin B
代入已知条件，得到
325−22t+210t2=25\frac{3\sqrt{2}}{5}-\frac{\sqrt{2}}{2}t+\frac{\sqrt{2}}{10}t^2=\frac{\sqrt{2}}{5}
两边同除以 210\frac{\sqrt{2}}{10}，得
t2−5t+4=0t^2-5t+4=0
所以
tan⁡α=t=1或t=4\tan\alpha=t=1\quad\text{或}\quad t=4
\end{enumerate} \end{solution}

2013 · 重庆 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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