在平面上，$\overrightarrow{AB_1} \perp \overrightarrow{AB_2}$，$|\overrightarrow{OB_1}| = |\overrightarrow{OB_2}| = 1$，$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{AB_2}$. 若 $|\overrightarrow{OP}| < \frac{1}{2}$，则 $|\overrightarrow{OA}|$ 的取值范围是（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 设 $\boldsymbol{a}=\overrightarrow{OA}$，$\boldsymbol{b}_1=\overrightarrow{OB_1}$，$\boldsymbol{b}_2=\overrightarrow{OB_2}$，$\boldsymbol{p}=\overrightarrow{OP}$. 由向量条件 得 又因为 $|\boldsymbol{b}_1|=|\boldsymbol{b}_2|=1$，且 $\overrightarrow{AB_1}\perp\overrightarrow{AB_2}$，所以 代入 $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}_1+\boldsymbol{b}_2-\boldsymbol{p}$，得到 记 $q=|\boldsymbol{p}|=|\overrightarrow{OP}|$，$d=\boldsymbol{b}_1\cdot\boldsymbol{b}_2$，则 因此 由 $0\leqslant q<\frac12$，可得 当 $q=0$ 时取到右端点；当 $q$ 趋近于 $\frac12$ 时左端点不取到，故选 D. 为说明区间内的值均可取到，对任意 $q\in[0,\frac12)$，取 $\boldsymbol{b}_1=(1,0)$，$\boldsymbol{b}_2=(0,1)$，$\boldsymbol{p}=\frac{q^2}{2}(1,1)+\sqrt{q^2-\frac{q^4}{2}}\frac{(1,-1)}{\sqrt2}$. 则 $|\boldsymbol{p}|=q$，且 $\boldsymbol{p}\cdot(\boldsymbol{b}_1+\boldsymbol{b}_2)=q^2$. 令 $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}_1+\boldsymbol{b}_2-\boldsymbol{p}$，便有 $(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{b}_2)\cdot(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{b}_1)=0$，从而满足题设的垂直条件. 因此上述范围恰好可取到，故选 D. \end{solution}