如图，$B$ 地在 $A$ 地的正东方向 $4\mathrm{~km}$ 处，$C$ 地在 $B$ 地的北偏东 $30^{\circ}$ 方向 $2\mathrm{~km}$ 处，河流的某岸 $PQ$（曲线）上任意一点到 $A$ 的距离比到 $B$ 的距离远 $2\mathrm{~km}$. 现要在曲线 $PQ$ 上选一处 $M$ 建一座码头，向 $B$，$C$ 两地转运货物. 经测算，从 $M$ 到 $B$，$C$ 两地修建公路的费用分别是 $a\text{ 万元}/\mathrm{km}$，$2a\text{ 万元}/\mathrm{km}$，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）

如图，$P$ 是抛物线 $C: y = \frac{1}{2}x^2$ 上一点，直线 $l$ 过点 $P$ 且与抛物线 $C$ 在点 $P$ 的切线垂直，$l$ 与抛物线 $C$ 相交于另一点 $Q$.

(1) 当点 $P$ 的横坐标为 $2$ 时，求直线 $l$ 的方程； (2) 当点 $P$ 在抛物线 $C$ 上移动时，求线段 $PQ$ 中点 $M$ 的轨迹方程，并求点 $M$ 到 $x$ 轴的最短距离.