如图，在平行六面体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中，已知 $AB = 5$，$AD = 4$，$AA_1 = 3$，$AB \perp AD$，$\angle A_1AB = \angle A_1AD = \frac{\pi}{3}$.

(1) 求证：顶点 $A_1$ 在底面 $ABCD$ 的射影 $O$ 在 $\angle BAD$ 的平分线上； (2) 求这个平行六面体的体积.