如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知以 $M$ 为圆心的圆 $M:x^2+y^2-12x-14y+60=0$ 及其上一点 $A(2,4)$.

(1) 设圆 $N$ 与 $x$ 轴相切，与圆 $M$ 外切，且圆心 $N$ 在直线 $x=6$ 上，求圆 $N$ 的标准方程； (2) 设平行于 $OA$ 的直线 $l$ 与圆 $M$ 相交于 $B$，$C$ 两点，且 $BC=OA$，求直线 $l$ 的方程； (3) 设点 $T(t,0)$ 满足：存在圆 $M$ 上的两点 $P$ 和 $Q$，使得 $\overrightarrow{TA}+\overrightarrow{TP}=\overrightarrow{TQ}$，求实数 $t$ 的取值范围.

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知直线 $l:x-y-2=0$，抛物线 $C:y^2=2px$（$p>0$）.

(1) 若直线 $l$ 过抛物线 $C$ 的焦点，求抛物线 $C$ 的方程； (2) 已知抛物线 $C$ 上存在关于直线 $l$ 对称的相异两点 $P$ 和 $Q$.

(i) 求证：线段 $PQ$ 的中点坐标为 $(2-p,-p)$； (ii) 求 $p$ 的取值范围.