已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{t}+\dfrac{y^2}{3}=1$，焦点在 $x$ 轴上，$A$ 是 $E$ 的左顶点，斜率为 $k$（$k>0$）的直线交 $E$ 于 $A$，$M$ 两点，点 $N$ 在 $E$ 上，且 $MA\perp NA$.

(1) 当 $t=4$，$\lvert AM\rvert=\lvert AN\rvert$ 时，求 $\triangle AMN$ 的面积； (2) 当 $2\lvert AM\rvert=\lvert AN\rvert$ 时，求 $k$ 的取值范围.