如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$A_1$，$A_2$，$B_1$，$B_2$ 为椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ （$a>b>0$）的四个顶点，$F$ 为其右焦点. 直线 $A_1B_2$ 与直线 $B_1F$ 相交于点 $T$，线段 $OT$ 与椭圆的交点 $M$ 恰为线段 $OT$ 的中点，则该椭圆的离心率为______.

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知圆 $C_1:(x+3)^2+(y-1)^2=4$ 和圆 $C_2:(x-4)^2+(y-5)^2=4$.

(1) 若直线 $l$ 过点 $A(4,0)$，且被圆 $C_1$ 截得的弦长为 $2\sqrt3$，求直线 $l$ 的方程； (2) 设 $P$ 为平面上的点，满足：存在过点 $P$ 的无穷多对互相垂直的直线 $l_1$ 和 $l_2$，它们分别与圆 $C_1$ 和圆 $C_2$ 相交，且直线 $l_1$ 被圆 $C_1$ 截得的弦长与直线 $l_2$ 被圆 $C_2$ 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点 $P$ 的坐标.

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $C$ 的顶点在原点，经过点 $A(2,2)$，其焦点 $F$ 在 $x$ 轴上.

(1) 求抛物线 $C$ 的标准方程； (2) 求过点 $F$，且与直线 $OA$ 垂直的直线的方程； (3) 设过点 $M(m,0)$（$m>0$）的直线交抛物线 $C$ 于 $D$，$E$ 两点，$ME=2DM$，记 $D$ 和 $E$ 两点间的距离为 $f(m)$，求 $f(m)$ 关于 $m$ 的表达式.