对于正整数 $n\ge2$，用 $T_n$ 表示关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+2ax+b=0$ 有实数根的有序数组 $(a,b)$ 的组数，其中 $a$，$b\in\{1,2,\cdots,n\}$（$a$ 和 $b$ 可以相等）；对于随机选取的 $a$，$b\in\{1,2,\cdots,n\}$（$a$ 和 $b$ 可以相等），记 $P_n$ 为关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+2ax+b=0$ 有实数根的概率.

(1) 求 $T_{n^2}$ 和 $P_{n^2}$； (2) 求证：对任意正整数 $n\ge2$，有 $P_n>1-\frac{1}{\sqrt n}$.