已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ （$a > b > 0$）的一个顶点为 $A(2, 0)$，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，直线 $y = k(x - 1)$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $M$，$N$.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程； (2) 当 $\triangle AMN$ 的面积为 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ 时，求 $k$ 的值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由于 $A(2,0)$ 是长轴顶点，所以 $a=2$. 设焦半距为 $c$，由离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 得 $c=\sqrt{2}$. 再由 $b^2=a^2-c^2$，得 $b^2=4-2=2$. 所以椭圆方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$.

\item 令 $M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$. 将 $y=k(x-1)$ 代入椭圆方程，得到 因此 线段 $MN$ 在直线 $y=k(x-1)$ 上，所以 $|MN|=|x_1-x_2|\sqrt{1+k^2}$. 点 $A(2,0)$ 到该直线的距离为 $\dfrac{|2k-k|}{\sqrt{1+k^2}}=\dfrac{|k|}{\sqrt{1+k^2}}$. 从而 令 $u=k^2$，由题设面积得 即 $7u^2-2u-5=0$. 因而 $u=1$ 或 $u=-\frac{5}{7}$. 因为 $u=k^2\geqslant0$，所以 $u=1$，故 $k=\pm1$. \end{enumerate} \end{solution}