设非空集合 $S = \{x \mid m \leqslant x \leqslant l\}$ 满足：当 $x \in S$ 时，有 $x^2 \in S$. 给出如下三个命题：

① 若 $m = 1$，则 $S = \{1\}$； ② 若 $m = -\frac{1}{2}$，则 $\frac{1}{4} \leqslant l \leqslant 1$； ③ 若 $l = \frac{1}{2}$，则 $-\frac{\sqrt{2}}{2} \leqslant m \leqslant 0$.

其中正确命题的个数是（ ）

如图，在长方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$E$，$H$ 分别是棱 $A_{1}B_{1}$，$D_{1}C_{1}$ 上的点（点 $E$ 与 $B_{1}$ 不重合），且 $EH\parallel A_{1}D_{1}$. 过 $EH$ 的平面与棱 $BB_{1}$，$CC_{1}$ 相交，交点分别为 $F$，$G$.

(1) 证明：$AD\parallel$ 平面 $EFGH$； (2) 设 $AB = 2AA_{1} = 2a$. 在长方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 内随机选取一点. 记该点取自几何体 $A_{1}ABFE-D_{1}DCGH$ 内的概率为 $p$，当点 $E$，$F$ 分别在棱 $A_{1}B_{1}$，$B_{1}B$ 上运动且满足 $EF = a$ 时，求 $p$ 的最小值.