已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），$A$，$B$ 是椭圆上的两点，线段 $AB$ 的垂直平分线与 $x$ 轴相交于点 $P(x_0,0)$. 证明：$-\frac{a^2-b^2}{a}<x_0<\frac{a^2-b^2}{a}$.

\begin{solution} 设 $A=(x_1,y_1)$，$B=(x_2,y_2)$. 若 $x_1=x_2$，则由椭圆方程可知两个不同点只能关于 $x$ 轴对称，此时 $AB$ 的垂直平分线就是 $x$ 轴，不会与其交于唯一的点 $P$，故 $x_1\neq x_2$. 由两点在椭圆上，得 $y_i^2=b^2\left(1-\frac{x_i^2}{a^2}\right)$，从而 $x_i^2+y_i^2=b^2+\frac{a^2-b^2}{a^2}x_i^2$，（$i=1,2$）.

点 $P$ 在线段 $AB$ 的垂直平分线上，所以 $PA=PB$. 平方并消去 $x_0^2$，得 $2x_0(x_2-x_1)=x_2^2+y_2^2-x_1^2-y_1^2=\frac{a^2-b^2}{a^2}(x_2-x_1)(x_2+x_1)$. 因为 $x_1\neq x_2$，所以 $x_0=\frac{a^2-b^2}{2a^2}(x_1+x_2)$.

又由椭圆方程 $|x_1|\leqslant a$，$|x_2|\leqslant a$，所以 $|x_1+x_2|\leqslant2a$，进而 $|x_0|\leqslant\frac{a^2-b^2}{a}$. 若取等号，则必须有 $x_1=x_2=a$ 或 $x_1=x_2=-a$，此时 $A=B$，与两点为不同点矛盾. 因此严格成立，即 $-\frac{a^2-b^2}{a}<x_0<\frac{a^2-b^2}{a}$. \end{solution}