设等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$. 已知 $a_3=12$，$S_{12}>0$，$S_{13}<0$.

(1) 求公差 $d$ 的取值范围； (2) 指出 $S_1$，$S_2$，$\cdots$，$S_{12}$ 中哪一个值最大，并说明理由.

\begin{solution} 由 $a_3=12$，得 $a_1=12-2d$. 因而 $S_{12}=\frac{12}{2}\bigl(2a_1+11d\bigr)=6(24+7d)>0$，所以 $d>-\frac{24}{7}$；又 $S_{13}=\frac{13}{2}\bigl(2a_1+12d\bigr)=13(12+4d)<0$，所以 $d<-3$. 综合得 $d\in\left(-\frac{24}{7},-3\right)$.

$a_n=12+(n-3)d$. 因为 $d>-\frac{24}{7}$，有 $a_6=12+3d>\frac{12}{7}>0$；因为 $d<-3$，有 $a_7=12+4d<0$. 所以 $S_n-S_{n-1}=a_n$ 在 $n=2$，$\ldots$，$6$ 时为正，在 $n=7$，$\ldots$，$12$ 时为负，故 $S_1$，$S_2$，$\ldots$，$S_{12}$ 先增后减，最大值为 $S_6$. \end{solution}