已知：两条异面直线 $a$，$b$ 所成的角为 $\theta$，它们的公垂线段 $AA_1$ 的长度为 $d$. 在直线 $a$，$b$ 上分别取点 $E$，$F$，设 $A_1E=m$，$AF=n$. 求证：$EF=\sqrt{d^2+m^2+n^2\pm 2mn\cos\theta}$.

\begin{solution} 由线段 $A_1E$ 和 $AF$ 分别沿两直线，取向量分解 $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{A_1A}+\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{A_1E}$. 因为 $AA_1$ 是两直线的公垂线段，$\overrightarrow{A_1A}$ 同时垂直于 $\overrightarrow{A_1E}$ 和 $\overrightarrow{AF}$，且 $|\overrightarrow{A_1A}|=d$，$|\overrightarrow{A_1E}|=m$，$|\overrightarrow{AF}|=n$. 所以 $EF^2=d^2+m^2+n^2-2\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{A_1E}$. 两直线所成角为 $\theta$，而两条有向射线的夹角可能为 $\theta$ 或 $\pi-\theta$，故 $\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{A_1E}=\pm mn\cos\theta$. 于是 $EF^2=d^2+m^2+n^2\pm2mn\cos\theta$，从而 $EF=\sqrt{d^2+m^2+n^2\pm2mn\cos\theta}$. \end{solution}