已知公比为 $q$（$0 < q < 1$）的无穷等比数列 $\{a_{n}\}$ 各项的和为 $9$，无穷等比数列 $\{a_{n}^{2}\}$ 各项的和为 $\frac{81}{5}$.

(1) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1}$ 和公比 $q$； (2) 对给定的 $k$（$k = 1$，$2$，$3$，$\cdots$，$n$），设 $T^{(k)}$ 是首项为 $a_k$，公差为 $2a_k - 1$ 的等差数列，求 $T^{(2)}$ 的前 $10$ 项之和； (3) 设 $b_{i}$ 为数列 $T^{(i)}$ 的第 $i$ 项，$S_{n} = b_{1} + b_{2} + \cdots + b_{n}$，求 $S_{n}$，并求正整数 $m$（$m > 1$），使得 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{S_{n}}{n^{m}}$ 存在且不等于零.