在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知双曲线 $C_1: 2x^2 - y^2 = 1$.

(1) 过 $C_{1}$ 的左顶点引 $C_{1}$ 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及 $x$ 轴围成的三角形的面积； (2) 设斜率为 1 的直线 $l$ 交 $C_{1}$ 于 $P$，$Q$ 两点. 若 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切. 求证： $OP \perp OQ$； (3) 设椭圆 $C_{2}: 4x^{2} + y^{2} = 1$. 若 $M$，$N$ 分别是 $C_{1}$，$C_{2}$ 上的动点，且 $OM \perp ON$，求证：$O$ 到直线 $MN$ 的距离是定值.