设 $P(1, t)$ 是直角坐标系内的点（$t > 0$）. 将向量 $\overrightarrow{OP}$ 绕原点 $O$ 按逆时针方向旋转 $\frac{\pi}{2}$，再把它的模变为原来的两倍，得到向量 $\overrightarrow{OQ}$，以 $OP$，$OQ$ 为邻边作矩形 $OPRQ$.

(1) 求点 $Q$，$R$ 的坐标； (2) 求矩形 $OPRQ$ 在第一象限部分的面积 $S(t)$； (3) 确定函数 $S(t)$ 的单调区间，并加以证明.