已知数列 $\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$ 与函数 $f(x)$，$g(x)$，$x \in \mathbf{R}$ 满足条件：$b_{1} = b$，$a_{n} = f(b_{n}) = g(b_{n+1})$（$n \in \mathbf{N}^{*}$）.

(1) 若 $f(x) = tx + 1$（$t \neq 0$，$t \neq 2$），$g(x) = 2x$，$f(b) \neq g(b)$，且 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n$ 存在，求 $t$ 的取值范围，并求 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n$（用 $t$ 表示）. (2) 若函数 $y = f(x)$ 为 $\mathbf{R}$ 上的增函数，$g(x) = f^{-1}(x)$，$b = 1$，$f(1) < 1$，证明对任意的 $n \in \mathbf{N}^{*}$，$a_{n+1} < a_n$.