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22
导数及其应用
★★★★☆
已知函数
f
(
x
)
=
e
x
−
a
x
f(x) = \mathrm{e}^{x} - ax
f
(
x
)
=
e
x
−
a
x
，其中
a
>
0
a > 0
a
>
0
.
(1) 若对一切
x
∈
R
x \in \mathbf{R}
x
∈
R
，
f
(
x
)
⩾
1
f(x) \geqslant 1
f
(
x
)
⩾
1
恒成立，求
a
a
a
的取值集合； (2) 在函数
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的图象上取定两点
A
(
x
1
,
f
(
x
1
)
)
A(x_{1}, f(x_{1}))
A
(
x
1
,
f
(
x
1
))
，
B
(
x
2
,
f
(
x
2
)
)
B(x_{2}, f(x_{2}))
B
(
x
2
,
f
(
x
2
))
（
x
1
<
x
2
x_{1} < x_{2}
x
1
<
x
2
），记直线
A
B
AB
A
B
的斜率为
k
k
k
，证明：存在
x
0
∈
(
x
1
,
x
2
)
x_{0} \in (x_{1}, x_{2})
x
0
∈
(
x
1
,
x
2
)
，使
f
′
(
x
0
)
=
k
f'(x_{0}) = k
f
′
(
x
0
)
=
k
成立.
2012 · 湖南 · 文 · 第 22 题 · 解答题
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