已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）的左，右焦点分别为 $F_1$，$F_2$，$P$ 是准线上一点，且 $PF_1 \perp PF_2$，$|PF_1| \cdot |PF_2| = 4ab$，则双曲线的离心率是（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 记双曲线的半焦距为 $c$，则 $c^2=a^2+b^2$. 不妨取右准线上的点 $P$，设其坐标为 $\left(\dfrac{a^2}{c},y\right)$，焦点为 $F_1=(-c,0)$，$F_2=(c,0)$. 由 $PF_1\perp PF_2$，得 即 $\left(\dfrac{a^2}{c}\right)^2+y^2=c^2$. 因此 $P$ 在以原点为圆心、$c$ 为半径的圆上.

由 $PF_1\perp PF_2$，还可得 所以 $\lvert PF_1\rvert\lvert PF_2\rvert=2c\lvert y\rvert$. 又 从而 $\lvert PF_1\rvert\lvert PF_2\rvert=2b\sqrt{c^2+a^2}$. 根据题设 $\lvert PF_1\rvert\lvert PF_2\rvert=4ab$，得到 $\sqrt{c^2+a^2}=2a$，即 $c^2=3a^2$. 故离心率 $e=\dfrac ca=\sqrt3$，选 B. \end{solution}

设 若 $f(g(x))$ 的值域是 $[0, +\infty)$，则函数 $g(x)$ 的值域是（ ）

\begin{answer} 条件不足，无法唯一确定 \end{answer}

\begin{solution} 令 $G$ 为函数 $g(x)$ 的值域. 由 可知当 $-1<u<0$ 时 $f(u)<0$，而 $f(u)\geqslant0$ 的必要条件是 $u$ 不属于 $(-1,0)$. 另一方面，为得到复合函数值域中的每个 $y\in[0,1)$，必须取到 $u=y\in[0,1)$；对于 $y\geqslant1$，既可以取 $u=\sqrt y$，也可以取 $u=-\sqrt y$.

因此，仅由 $f(g(x))$ 的值域为 $[0,+\infty)$，不能唯一确定 $G$. 例如函数 $g_1(x)=\lvert x\rvert$ 的值域为 $G_1=[0,+\infty)$，且 $f(G_1)=[0,+\infty)$. 再定义 则其值域为 $G_2=(-\infty,-1]\cup[0,+\infty)$，同样有 $f(G_2)=[0,+\infty)$. 所以按原题面条件，函数 $g(x)$ 的值域不唯一；若另加 $G$ 为区间（例如 $g$ 连续）的条件，才可得到 $G=[0,+\infty)$，对应选项 C. \end{solution}

已知点 $O$ 在二面角 $\alpha-AB-\beta$ 的棱上，点 $P$ 在 $\alpha$ 内，且 $\angle POB = 45^{\circ}$. 若对于 $\beta$ 内异于 $O$ 的任意一点 $Q$，都有 $\angle POQ \geqslant 45^{\circ}$，则二面角 $\alpha-AB-\beta$ 的大小是______. \begin{answer} $90^{\circ}$ \end{answer}

\begin{solution} 设 $\theta$ 为二面角的大小，取沿 $OB$ 的单位向量为 $\boldsymbol{e}_1$，取平面 $\alpha$ 内垂直于 $AB$ 且指向 $P$ 的单位向量为 $\boldsymbol{e}_2$，再取平面 $\beta$ 内垂直于 $AB$ 的单位向量为 $\boldsymbol{e}_3$. 则 $\boldsymbol{e}_1\perp\boldsymbol{e}_2$，$\boldsymbol{e}_1\perp\boldsymbol{e}_3$，$\boldsymbol{e}_2\cdot\boldsymbol{e}_3=\cos\theta$. 由 $\angle POB=45^{\circ}$，设 $OP=r$，则 平面 $\beta$ 内任意向量都可以写成 $s\boldsymbol{e}_1+t\boldsymbol{e}_3$. 因此，$\overrightarrow{OP}$ 在平面 $\beta$ 上的投影长度为 所以 $\overrightarrow{OP}$ 与平面 $\beta$ 内非零向量的夹角的最小值 $\varphi$ 满足 题设对任意 $Q\in\beta$ 且 $Q\ne O$ 都有 $\angle POQ\geqslant45^{\circ}$，故 $\varphi\geqslant45^{\circ}$，从而 于是 $\cos^2\theta=0$，所以 $\theta=90^{\circ}$. \end{solution}

设 $m$ 为实数，若 $\left\{(x,y)\mid x - 2y + 5 \geqslant 0,\ 3 - x \geqslant 0,\ mx + y \geqslant 0\right\} \subseteq \left\{(x,y)\mid x^{2} + y^{2} \leqslant 25\right\}$，则 $m$ 的取值范围是______. \begin{answer} $0 \leqslant m \leqslant \frac{4}{3}$ \end{answer}

\begin{solution} 三条边界直线分别为 $y=\dfrac{x+5}{2}$，$x=3$ 和 $y=-mx$. 若 $2m+1\leqslant0$，则前两条不等式与 $y\geqslant-mx$ 的交集向左无界，不可能包含在圆 $x^2+y^2\leqslant25$ 内，故 $m>-\dfrac12$. 此时区域为三角形，其三个顶点为 $A=(3,4)$，$B=(3,-3m)$，$C=\left(-\frac5{2m+1},\frac{5m}{2m+1}\right)$. 圆盘是凸集，故三角形包含于圆盘的充要条件是三个顶点都在圆盘内.

点 $A$ 在圆周上. 由点 $B$ 在圆盘内，得 由点 $C$ 在圆盘内，得 结合 $m>-\dfrac12$，可知 $3m+4>0$，所以 $m\geqslant0$. 综合得 $0\leqslant m\leqslant\dfrac43$. \end{solution}

如图，直线 $y = kx + b$ 与椭圆 $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 交于 $A$，$B$ 两点，记 $\triangle AOB$ 的面积为 $S$.

(1) 求在 $k = 0$，$0 < b < 1$ 的条件下，$S$ 的最大值； (2) 当 $\left|AB\right| = 2$，$S = 1$ 时，求直线 $AB$ 的方程.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 $k=0$ 时，直线为 $y=b$. 它与椭圆交于 所以 令 $u=b^2$，则 $0<u<1$，且 因此 $S$ 的最大值为 $1$，当 $u=\dfrac12$，即 $b^2=\dfrac12$ 时取得. \item 设直线为 $y=kx+b$，即 $kx-y+b=0$. 因为 $\lvert AB\rvert=2$，$S=1$，所以原点到直线 $AB$ 的距离为 故 $\dfrac{\lvert b\rvert}{\sqrt{1+k^2}}=1$，从而 $b^2=1+k^2$. 把 $y=kx+b$ 代入椭圆方程，交点的横坐标 $x_1$，$x_2$ 满足 其判别式为 因而 由于两交点在斜率为 $k$ 的直线上， 代入上式及前式，令 $u=k^2$，得 所以 $k=\pm\dfrac{\sqrt2}{2}$，且由前式得 $\lvert b\rvert=\dfrac{\sqrt6}{2}$. 因此直线 $AB$ 的方程为 $y=\dfrac{\sqrt2}{2}x+\dfrac{\sqrt6}{2}$，$y=\dfrac{\sqrt2}{2}x-\dfrac{\sqrt6}{2}$，$y=-\dfrac{\sqrt2}{2}x+\dfrac{\sqrt6}{2}$ 或 $y=-\dfrac{\sqrt2}{2}x-\dfrac{\sqrt6}{2}$. \end{enumerate} \end{solution}