设 $m$ 为实数，若 $\left\{(x,y)\mid x - 2y + 5 \geqslant 0,\ 3 - x \geqslant 0,\ mx + y \geqslant 0\right\} \subseteq \left\{(x,y)\mid x^{2} + y^{2} \leqslant 25\right\}$，则 $m$ 的取值范围是______. \begin{answer} $0 \leqslant m \leqslant \frac{4}{3}$ \end{answer}

\begin{solution} 三条边界直线分别为 $y=\dfrac{x+5}{2}$，$x=3$ 和 $y=-mx$. 若 $2m+1\leqslant0$，则前两条不等式与 $y\geqslant-mx$ 的交集向左无界，不可能包含在圆 $x^2+y^2\leqslant25$ 内，故 $m>-\dfrac12$. 此时区域为三角形，其三个顶点为 $A=(3,4)$，$B=(3,-3m)$，$C=\left(-\frac5{2m+1},\frac{5m}{2m+1}\right)$. 圆盘是凸集，故三角形包含于圆盘的充要条件是三个顶点都在圆盘内.

点 $A$ 在圆周上. 由点 $B$ 在圆盘内，得 由点 $C$ 在圆盘内，得 结合 $m>-\dfrac12$，可知 $3m+4>0$，所以 $m\geqslant0$. 综合得 $0\leqslant m\leqslant\dfrac43$. \end{solution}