已知点 $O$ 在二面角 $\alpha-AB-\beta$ 的棱上，点 $P$ 在 $\alpha$ 内，且 $\angle POB = 45^{\circ}$. 若对于 $\beta$ 内异于 $O$ 的任意一点 $Q$，都有 $\angle POQ \geqslant 45^{\circ}$，则二面角 $\alpha-AB-\beta$ 的大小是______. \begin{answer} $90^{\circ}$ \end{answer}

\begin{solution} 设 $\theta$ 为二面角的大小，取沿 $OB$ 的单位向量为 $\boldsymbol{e}_1$，取平面 $\alpha$ 内垂直于 $AB$ 且指向 $P$ 的单位向量为 $\boldsymbol{e}_2$，再取平面 $\beta$ 内垂直于 $AB$ 的单位向量为 $\boldsymbol{e}_3$. 则 $\boldsymbol{e}_1\perp\boldsymbol{e}_2$，$\boldsymbol{e}_1\perp\boldsymbol{e}_3$，$\boldsymbol{e}_2\cdot\boldsymbol{e}_3=\cos\theta$. 由 $\angle POB=45^{\circ}$，设 $OP=r$，则 平面 $\beta$ 内任意向量都可以写成 $s\boldsymbol{e}_1+t\boldsymbol{e}_3$. 因此，$\overrightarrow{OP}$ 在平面 $\beta$ 上的投影长度为 所以 $\overrightarrow{OP}$ 与平面 $\beta$ 内非零向量的夹角的最小值 $\varphi$ 满足 题设对任意 $Q\in\beta$ 且 $Q\ne O$ 都有 $\angle POQ\geqslant45^{\circ}$，故 $\varphi\geqslant45^{\circ}$，从而 于是 $\cos^2\theta=0$，所以 $\theta=90^{\circ}$. \end{solution}