已知抛物线 $C:y=x^2+4x+\dfrac27$，过 $C$ 上一点 $M$，且与 $M$ 处的切线垂直的直线称为 $C$ 在点 $M$ 的法线.

(1) 若 $C$ 在点 $M$ 的法线的斜率为 $-\dfrac12$，求点 $M$ 的坐标 $(x_0,y_0)$； (2) 设 $P(-2,a)$ 为 $C$ 对称轴上的一点，在 $C$ 上是否存在点，使得 $C$ 在该点的法线通过点 $P$？若有，求出这些点，以及 $C$ 在这些点的法线方程；若没有，请说明理由.