已知椭圆 $C:\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt5}{3}$，点 $A(-2,0)$ 在 $C$ 上.

(1) 求 $C$ 的方程； (2) 过点 $(-2,3)$ 的直线交 $C$ 于 $P$，$Q$ 两点，直线 $AP$，$AQ$ 与 $y$ 轴的交点分别为 $M$，$N$，证明：线段 $MN$ 的中点为定点.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设椭圆的半焦距为 $c$，则 $c^2=a^2-b^2$. 由点 $A(-2,0)$ 在椭圆上，得 $b=2$. 又由离心率得 $\dfrac{c^2}{a^2}=\dfrac59$，所以 $1-\dfrac{4}{a^2}=\dfrac59$，从而 $a=3$. 因此 $C$ 的方程为 $\dfrac{y^2}{9}+\dfrac{x^2}{4}=1$. \item 过点 $(-2,3)$ 的直线若为 $x=-2$，则与椭圆只有一个交点，故由题意可设该直线斜率为 $k$，其方程为 $y=k(x+2)+3$. 设 $P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$，则 $x_1$，$x_2$ 是方程 的两个根，即 由韦达定理， $x_1+x_2=-\frac{8k(2k+3)}{9+4k^2}$，$x_1x_2=\frac{16k(k+3)}{9+4k^2}$. 直线 $AP$ 与 $y$ 轴的交点纵坐标为 $\dfrac{2y_1}{x_1+2}$，而 $y_1=k(x_1+2)+3$，所以该纵坐标为 $2k+\dfrac{6}{x_1+2}$. 同理，点 $N$ 的纵坐标为 $2k+\dfrac{6}{x_2+2}$. 因而线段 $MN$ 的中点横坐标为 $0$，纵坐标为 由上式中的韦达关系， $x_1+x_2+4=\frac{12(3-2k)}{9+4k^2}$，$x_1x_2+2(x_1+x_2)+4=\frac{36}{9+4k^2}$， 故中点纵坐标为 $2k+3\cdot\dfrac{3-2k}{3}=3$. 所以线段 $MN$ 的中点为定点 $(0,3)$. \end{enumerate} \end{solution}

已知 $f(x)=2|x|+|x-2|$.

(1) 求不等式 $f(x)\le6-x$ 的解集； (2) 在直角坐标系 $xOy$ 中，求不等式组 所确定的平面区域的面积.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 $x<0$ 时，$f(x)=2-3x$；当 $0\le x\le2$ 时，$f(x)=x+2$；当 $x>2$ 时，$f(x)=3x-2$. 因此 第一种情形得 $-2\le x<0$，第二种情形得 $0\le x\le2$，第三种情形无解，所以不等式的解集为 $[-2,2]$. \item 不等式组表示的区域位于曲线 $y=f(x)$ 上方、直线 $y=6-x$ 下方. 由第（1）问，区域的横坐标范围为 $[-2,2]$. 当 $-2\le x\le0$ 时，上、下边界之差为 $(6-x)-(2-3x)=4+2x$；当 $0\le x\le2$ 时，上、下边界之差为 $(6-x)-(x+2)=4-2x$. 因此区域面积为 \end{enumerate} \end{solution}