设双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2} - y^2 = 1$（$a > 0$）与直线 $l: x + y = 1$ 相交于两个不同的点 $A$，$B$.

(1) 求双曲线 $C$ 的离心率 $e$ 的取值范围； (2) 设直线 $l$ 与 $y$ 轴的交点为 $P$，且 $\overrightarrow{PA} = \frac{5}{12}\overrightarrow{PB}$. 求 $a$ 的值.