如图，椭圆 $C_{0}:\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a > b > 0$，$\ a$，$b$ 为常数），动圆 $C_1: x^2 + y^2 = t_1^2$（$b < t_1 < a$）. 点 $A_{1}$，$A_{2}$ 分别为 $C_0$ 的左，右顶点，$C_1$ 与 $C_0$ 相交于 $A$，$B$，$C$，$D$ 四点.

(1) 求直线 $AA_{1}$ 与直线 $A_{2}B$ 交点 $M$ 的轨迹方程. (2) 设动圆 $C_{2}: x^{2} + y^{2} = t_{2}^{2}$ 与 $C_{0}$ 相交于 $A'$，$B'$，$C'$，$D'$ 四点，其中 $b < t_{2} < a$，$t_{1} \neq t_{2}$. 若矩形 $ABCD$ 与矩形 $A'B'C'D'$ 的面积相等，证明：$t_{1}^{2} + t_{2}^{2}$ 为定值.