设 $CEDF$ 是一个已知圆的内接矩形，过 $D$ 作该圆的切线与 $CE$ 的延长线相交于点 $A$，与 $CF$ 的延长线相交于点 $B$. 求证：$\frac{BF}{AE} = \frac{BC^{3}}{AC^{3}}$.

过原点 $O$ 作圆 $x^{2} + y^{2} - 2x - 4y + 4 = 0$ 的任意割线交圆于 $P_{1}$，$P_{2}$ 两点，求 $P_{1}P_{2}$ 的中点 $P$ 的轨迹.