设椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左焦点为 $F$，右顶点为 $A$，离心率为 $\dfrac{1}{2}$. 已知 $A$ 是抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）的焦点，$F$ 到抛物线的准线 $l$ 的距离为 $\dfrac{1}{2}$.

(1) 求椭圆的方程和抛物线的方程； (2) 设 $l$ 上两点 $P$，$Q$ 关于 $x$ 轴对称，直线 $AP$ 与椭圆相交于点 $B$（$B$ 异于点 $A$），直线 $BQ$ 与 $x$ 轴相交于点 $D$. 若 $\triangle APD$ 的面积为 $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$，求直线 $AP$ 的方程.