双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的左，右焦点分别是 $F_1$，$F_2$，左，右顶点分别为 $A_1$，$A_2$. 以 $F_1F_2$ 为直径的圆与 $C$ 的一条渐近线交于 $M$，$N$ 两点，且 $\angle NA_1M=\frac{5\pi}{6}$，则（ ）

已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\frac{\sqrt2}{2}$，长轴长为 4.

(1) 求 $C$ 的方程； (2) 过点 $(0,-2)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$，$B$ 两点，$O$ 为坐标原点. 若 $\triangle OAB$ 的面积为 $\sqrt2$，求 $|AB|$.