已知定义在正实数集上的函数 $f(x) = \frac{1}{2}x^2 + 2ax$，$g(x) = 3a^2\ln x + b$，其中 $a > 0$. 设两曲线 $y = f(x)$，$y = g(x)$ 有公共点，且在该点处的切线相同.

(1) 用 $a$ 表示 $b$，并求 $b$ 的最大值； (2) 求证：$f(x) \geqslant g(x)$（$x > 0$）.