定义：曲线 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离的最小值称为曲线 $C$ 到直线 $l$ 的距离. 已知曲线 $C_1$：$y = x^{2} + a$ 到直线 $l$：$y = x$ 的距离等于曲线 $C_2$：$x^{2} + (y + 4)^{2} = 2$ 到直线 $l$：$y = x$ 的距离，则实数 $a =\underline{\hspace{2em}}$.