如图，在侧棱垂直底面的四棱柱 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$AD \parallel BC$，$AD \perp AB$，$AB = \sqrt{2}$，$AD = 2$，$BC = 4$，$AA_{1} = 2$，$E$ 是 $DD_{1}$ 的中点，$F$ 是平面 $B_{1}C_{1}E$ 与直线 $AA_{1}$ 的交点.

(1) 证明：

(i) $EF \parallel A_{1}D_{1}$； (ii) $BA_{1} \perp$ 平面 $B_{1}C_{1}EF$. (2) 求 $BC_{1}$ 与平面 $B_{1}C_{1}EF$ 所成的角的正弦值.