设双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-y^2=1$（$a>0$）与直线 $l:x+y=1$ 相交于两个不同的点 $A$，$B$.

(1) 求双曲线 $C$ 的离心率 $e$ 的取值范围； (2) 设直线 $l$ 与 $y$ 轴的交点为 $P$，且 $\overrightarrow{PA}=\dfrac5{12}\overrightarrow{PB}$. 求 $a$ 的值.