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12
数列
★★★★☆
已知
a
i
∈
N
∗
a_i\in \mathbf{N}^*
a
i
∈
N
∗
（
i
=
1
i=1
i
=
1
，
2
2
2
，
…
\dots
…
，
9
9
9
），对任意的
k
∈
N
∗
k\in \mathbf{N}^*
k
∈
N
∗
（
2
≤
k
≤
8
2\le k\le 8
2
≤
k
≤
8
），
a
k
=
a
k
−
1
+
1
a_k=a_{k-1}+1
a
k
=
a
k
−
1
+
1
或
a
k
=
a
k
+
1
−
1
a_k=a_{k+1}-1
a
k
=
a
k
+
1
−
1
中有且仅有一个成立，
a
1
=
6
a_1=6
a
1
=
6
，
a
9
=
9
a_9=9
a
9
=
9
，则
a
1
+
⋯
+
a
9
a_1+\cdots+a_9
a
1
+
⋯
+
a
9
的最小值为______.
2021 · 上海 · 第 12 题 · 填空题
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15
三角函数
★★★★☆
已知
f
(
x
)
=
3
sin
x
+
2
f(x)=3\sin x+2
f
(
x
)
=
3
sin
x
+
2
，对任意的
x
1
∈
[
0
,
π
2
]
x_1\in\left[ 0,\frac{\pi}{2} \right]
x
1
∈
[
0
,
2
π
]
，都存在
x
2
∈
[
0
,
π
2
]
x_2\in\left[ 0,\frac{\pi}{2} \right]
x
2
∈
[
0
,
2
π
]
，使得
f
(
x
1
)
=
2
f
(
x
2
+
θ
)
+
2
f(x_1)=2f(x_2+\theta)+2
f
(
x
1
)
=
2
f
(
x
2
+
θ
)
+
2
成立，则下列选项中，
θ
\theta
θ
可能的值是（ ）
A.
3
π
5
\dfrac{3\pi}{5}
5
3
π
B.
4
π
5
\dfrac{4\pi}{5}
5
4
π
C.
6
π
5
\dfrac{6\pi}{5}
5
6
π
D.
7
π
5
\dfrac{7\pi}{5}
5
7
π
2021 · 上海 · 第 15 题 · 选择题
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16
不等式
★★★★☆
已知两两不相等的
x
1
x_1
x
1
，
y
1
y_1
y
1
，
x
2
x_2
x
2
，
y
2
y_2
y
2
，
x
3
x_3
x
3
，
y
3
y_3
y
3
，同时满足 ①
x
1
<
y
1
x_1<y_1
x
1
<
y
1
，
x
2
<
y
2
x_2<y_2
x
2
<
y
2
，
x
3
<
y
3
x_3<y_3
x
3
<
y
3
；②
x
1
+
y
1
=
x
2
+
y
2
=
x
3
+
y
3
x_1+y_1=x_2+y_2=x_3+y_3
x
1
+
y
1
=
x
2
+
y
2
=
x
3
+
y
3
；③
x
1
y
1
+
x
3
y
3
=
2
x
2
y
2
x_1y_1+x_3y_3=2x_2y_2
x
1
y
1
+
x
3
y
3
=
2
x
2
y
2
，以下哪个选项恒成立（ ）
A.
2
x
2
<
x
1
+
x
3
2x_2<x_1+x_3
2
x
2
<
x
1
+
x
3
B.
2
x
2
>
x
1
+
x
3
2x_2>x_1+x_3
2
x
2
>
x
1
+
x
3
C.
x
2
2
<
x
1
x
3
x_2^2<x_1x_3
x
2
2
<
x
1
x
3
D.
x
2
2
>
x
1
x
3
x_2^2>x_1x_3
x
2
2
>
x
1
x
3
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