函数 $f: \{1, 2, 3\} \to \{1, 2, 3\}$ 满足 $f(f(x)) = f(x)$，则这样的函数个数共有（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 设值域中的元素集合为 $S=f(\{1,2,3\})$. 对任意 $y\in S$，存在 $x$ 使 $y=f(x)$，于是由题设 $f(y)=f(f(x))=f(x)=y$，所以 $S$ 中每个元素都是不动点. 反过来，只要规定 $S$ 中元素各自映射到自身，并把其余元素任意映射到 $S$，就一定满足 $f(f(x))=f(x)$. 因而 $S$ 非空.

若 $|S|=k$，先从 3 个元素中选出 $S$，有 $\mathrm C_3^k$ 种；对剩余的 $3-k$ 个元素，每个都有 $k$ 种像，故有 $k^{3-k}$ 种. 所以函数总数为 因此选 D. \end{solution}

设 $f(x)=3ax^{2}+2bx+c$. 若 $a+b+c=0$，$f(0)>0$，$f(1)>0$，求证：

(1) $a > 0$ 且 $-2 < \frac{b}{a} < -1$. (2) 方程 $f(x)=0$ 在 $(0,1)$ 内有两个实根.

如图，椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）与过点 $A(2,0)$，$B(0,1)$ 的直线有且只有一个公共点 $T$，且椭圆的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(1) 求椭圆方程； (2) 设 $F_{1}$，$F_{2}$ 分别为椭圆的左，右焦点，$M$ 为线段 $AF_{2}$ 的中点. 求证：$\angle ATM = \angle AF_{1}T$.