函数 $f: \{1, 2, 3\} \to \{1, 2, 3\}$ 满足 $f(f(x)) = f(x)$，则这样的函数个数共有（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 设值域中的元素集合为 $S=f(\{1,2,3\})$. 对任意 $y\in S$，存在 $x$ 使 $y=f(x)$，于是由题设 $f(y)=f(f(x))=f(x)=y$，所以 $S$ 中每个元素都是不动点. 反过来，只要规定 $S$ 中元素各自映射到自身，并把其余元素任意映射到 $S$，就一定满足 $f(f(x))=f(x)$. 因而 $S$ 非空.

若 $|S|=k$，先从 3 个元素中选出 $S$，有 $\mathrm C_3^k$ 种；对剩余的 $3-k$ 个元素，每个都有 $k$ 种像，故有 $k^{3-k}$ 种. 所以函数总数为 因此选 D. \end{solution}