已知函数 $f(x) = x + \frac{a}{x} + b$（$x \neq 0$），其中 $a$，$b \in \mathbf{R}$.

(1) 若曲线 $y = f(x)$ 在点 $P(2, f(2))$ 处的切线方程为 $y = 3x + 1$，求函数 $f(x)$ 的解析式； (2) 讨论函数 $f(x)$ 的单调性； (3) 若对于任意的 $a \in \left[\frac{1}{2}, 2\right]$，不等式 $f(x) \leqslant 10$ 在 $\left[\frac{1}{4}, 1\right]$ 上恒成立，求 $b$ 的取值范围.