设 $P_1$，$P_2$，$\cdots$，$P_n$ 为平面 $\alpha$ 内的 $n$ 个点，在平面 $\alpha$ 内的所有点中，若点 $P$ 到 $P_1$，$P_2$，$\cdots$，$P_n$ 点的距离之和最小，则称点 $P$ 为 $P_1$，$P_2$，$\cdots$，$P_n$ 点的一个“中位点”. 例如，线段 $AB$ 上的任意点都是端点 $A$，$B$ 的中位点. 则有下列命题：

① 若三个点 $A$，$B$，$C$ 共线，$C$ 在线段 $AB$ 上，则 $C$ 是 $A$，$B$，$C$ 的中位点； ② 直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③ 若四个点 $A$，$B$，$C$，$D$ 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④ 梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.

其中的真命题是______.（写出所有真命题的序号）

如图，在三棱柱 $ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，侧棱 $AA_{1} \perp$ 底面 $ABC$，$AB = AC = 2AA_{1}$，$\angle BAC = 120^{\circ}$，$D$，$D_{1}$ 分别是线段 $BC$，$B_{1}C_{1}$ 的中点，$P$ 是线段 $AD$ 的中点.

(1) 在平面 $ABC$ 内，试作出过点 $P$ 与平面 $A_{1}BC$ 平行的直线 $l$，说明理由，并证明直线 $l \perp$ 平面 $ADD_{1}A_{1}$； (2) 设（1）中的直线 $l$ 交 $AB$ 于点 $M$，交 $AC$ 于点 $N$，求二面角 $A-A_{1}M-N$ 的余弦值.