设椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （$a > b > 0$）的左焦点为 $F$，过点 $F$ 的直线与椭圆 $C$ 相交于 $A$，$B$ 两点，直线 $l$ 的倾斜角为 $60^\circ$，$\overrightarrow{AF} = 2\overrightarrow{FB}$.

(1) 求椭圆 $C$ 的离心率； (2) 如果 $\left|AB\right| = \frac{15}{4}$，求椭圆 $C$ 的方程.