请先阅读：在等式 $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$（$x \in \mathbf{R}$）的两边对 $x$ 求导 $(\cos 2x)' = (2\cos^2 x - 1)'$. 由求导法则得 $(- \sin 2x)\cdot 2 = 4\cos x \cdot (-\sin x)$，化简得等式 $\sin 2x = 2\sin x\cos x$.

(1) 利用上述想法（或者其他方法），试由等式 $(1 + x)^n = \mathrm C_n^0 + \mathrm C_n^1x + \mathrm C_n^2x^2 + \cdots + \mathrm C_n^n x^n$（$x \in \mathbf{R}$，整数 $n \geqslant 2$）证明：$n\left[(1 + x)^{n-1} - 1\right] = \sum_{k=2}^{n} k \mathrm C_n^k x^{k-1}$； (2) 对于正整数 $n \geqslant 3$，求证：

(i) $\sum_{k=1}^{n} (-1)^k k \mathrm C_n^k = 0$； (ii) $\sum_{k=1}^{n} (-1)^k k^2 \mathrm C_n^k = 0$； (iii) $\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1} \mathrm C_n^k = \frac{2^{n+1} - 1}{n+1}$.