直线 $L$ 的方程为 $x = -\frac{p}{2}$，其中 $p > 0$. 椭圆的中心为 $D\left(2+\frac{p}{2},0\right)$，焦点在 $x$ 轴上，长半轴长为 $2$，短半轴长为 $1$，它的一个顶点为 $A\left(\frac{p}{2},0\right)$. 问 $p$ 在哪个范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点 $A$ 的距离等于该点到直线 $L$ 的距离.